Definicja 1: Wektor kierunkowy prostej
Wektor \( \overrightarrow{v} \) jest równoległy do prostej \( l \), jeżeli dla dowolnych dwóch jej punktów \( A \) i \( B \) wektory \( \overrightarrow{AB} \) oraz \( \overrightarrow{v} \) są równoległe.
Każdy wektor równoległy do prostej nazywamy jej
wektorem kierunkowym (zob.
Rys. 1 ).
Rysunek 1: Prosta \(l\) i jej wektor kierunkowy.
Równanie parametryczne prostej
Równanie
\( l: \hspace{2em} \left\{ \begin{array}{c} x=x_{0}+tv_{x}\\y=y_{0}+tv_{y}\\z=z_{0}+tv_{z}\end{array}\right. ,\hspace{1em}\text{ gdzie }t\in\mathbb{R} \)
opisuje prostą \( l \) przechodzącą przez punkt \( P\left( x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \) i równoległą do niezerowego wektora \( \overrightarrow{v}=\left( v_{x},v_{y},v_{z}\right) \).
Jest to tzw. równanie parametryczne prostej.
Równanie kierunkowe prostej
Równanie
\( l: \hspace{2em}\frac{x-x_{0}}{v_{x}}=\frac{y-y_{0}}{v_{y}}=\frac{z-z_{0}}{v_{z}}, \)
nazywane równaniem kierunkowym prostej, opisuje prostą \( l \) przechodzącą przez punkt \( P\left(x_{0},y_{0},z_{0}\right) \) i równoległą do wektora \( \overrightarrow{v}=\left( v_{x},v_{y},v_{z}\right) \) o niezerowych współrzędnych (zob. Rys. 2a).
Rysunek 2: Proste w przestrzeni.
Równanie krawędziowe prostej
Rozważmy dwie nierównoległe płaszczyzny
\( \pi_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0 \hspace{1em} \text {oraz} \hspace{1em} \pi_{2}:A_{2} x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0. \)
Częścią wspólną tych płaszczyzn jest prosta
\( l:\hspace{2em}\left\{\begin{array}{c}A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0\\A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0\end{array}\right. ; \)
równanie ( 3 ) to jej równanie krawędziowe (zob. Rys. 2b).
Uwaga 1:
Z własności iloczynu wektorowego pary wektorów wynika, że płaszczyzny \( \pi_{1} \) oraz \( \pi_{2} \) nie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich wektory normalne, równe odpowiednio \( \overrightarrow{n_{1}}=\left(A_{1},B_{1},C_{1}\right) \) oraz \( \overrightarrow{n_{2}}=\left(A_{2},B_{2},C_{2}\right) \), spełniają warunek \( \overrightarrow{n_{1}} \times\overrightarrow{n_{2}}\neq\overrightarrow{0} \). Wektor \( \overrightarrow{n_{1}}\times\overrightarrow{n_{2}} \) jest wówczas wektorem kierunkowym prostej \( l \).
Przykład 1: Wyznaczanie równania prostej
Rozważmy dwie płaszczyzny
\( \begin{aligned}\pi_{1} & : \hspace{2em} 2x-y+3\left( z-1\right) =0\\\pi_{2} & :\hspace{2em} x-2\left( y-1\right) +z-1=0.\end{aligned} \)
.
Ich wektory normalne, równe odpowiednio \( \overrightarrow{n_{1}}=\left(2,-1,3\right) \) oraz \( \overrightarrow{n_{2}}=\left(1,-2,1\right) \), nie są równoległe, zatem płaszczyzny te wyznaczają pewną prostą \( l \). Postać krawędziowa tej prostej to
\( l:\hspace{2em}\left\{\begin{array}{r}2x-y+3z-3=0\\x-2y+z+1=0\end{array}\right. . \)
Aby wyznaczyć postać parametryczną prostej \( l \) musimy wyznaczyć jej wektor kierunkowy. Wektorem tym jest wektor
\( \overrightarrow{n_{1}}\times\overrightarrow{n_{2}}=\left\vert\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k}\\2 & -1 & 3\\1 & -2 & 1\end{array}\right\vert =\left( 5,1,-3\right). \)
Potrzebujemy jeszcze znaleźć dowolny punkt leżący na prostej \( l \) (tj. spełniający warunek ( 4 ) ). Łatwo sprawdzić, że punktem takim może być punkt \( P\left( -1,1,2\right) \). Równanie parametryczne prostej \( l \) ma więc postać
\( l:\hspace{2em}\left\{\begin{array}{l}x=-1+5t\\y=1+t\\z=2-3t\end{array}\right., \)
gdzie \( t\in\mathbb{R} \). Aby uzyskać postać kierunkową prostej \( l \) wystarczy z każdego z trzech równań układu
( 5 ) wyznaczyć wartość \( t \):
\( t=\frac{x+1}{5}=y-1=\frac{z-2}{-3} \)
jest to poszukiwana postać kierunkowa prostej \( l \).
